医療統計学：確率の定義

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確率の定義

この項では、確率について考える「確率」とは、まさしく「確」からしさの「率」で、事象Aの起こる確率は、P(A)と書かれ、確率は英語で「probability」なので、その頭文字がとられている。
P(A)の取る値は、0と1の間であるが、「0」のときは、事象Aが絶対に起こらないことを表し、逆に「1」のときは、必ず起こることを表す。
以下、サイコロを1回投げる場合について少し考てみよう。ただし、サイコロに細工はなく、偏りがない（どの目も同じように出る）ものとする。
このとき全事象Qは、Q={1,2，3, 4, 5, 6}だ。この標本点の個数（これは丨Q Iと表され、「オメガ?バ一」などと読む）は6 個である。
?方、事象Aを「奇数の目が出る」とすると、A=|1,3, 5}。この標本点の個数IAIは、|A|=3になる。
したがって、サイコロは偏りがないとき、事象Aの起こる確率、すなわち、?数の目の出る確率は P(A)(奇数の目の出る確率）
=IAI/I Q I
=(?数の出る事象の標本点の個数）/ (全事象の標本点の個数） =3/6=1/2
と定義できる。この結果は直感の1/2と一致するはずだ。
次の項では、上で述べたことをもう少しおし進めてみよう。

サイコロの事象の確率

前の項で述べたことは大事なことなので、もう一度復習する。のないサイコロを1回拉げる場合を考えた。全事象Qは、
Q=丨1,2, 3, 4，5，6}
なので、丨Q丨=6。
?方、事象Aを「奇数の目が出る」とすると、A=h, 3, 5}。したがって、丨A丨=3。
このサイコロを投げたとき、奇数の目が出る確率は P(A)=丨 A 丨 / 丨 Q I =3/6=1/2 次に、これをもとに、一般の場合について考えてみよう。
一般に、サイコロ投げのように、何回も繰り返しでき、その結果が偶然に支配される実験や観察（試行）で起こりうる全事象Qの個数をNとする。すなわち、|Q I =N。上の例なら、N=6だ。さらに、これが大事であるが、どの場合も偏りなく起こるとする。
このとき、事象Aの標本点の個数がa個ならば、つまり、|A| = a (上の例では、a=3)なら、事象Aの確率P (A)は次のようになる。 P(A)(事象Aの起こる確率）
=I A | / I Q I
=(事象Aの標本点の個数）/ (全事象の標本点の個数） =a/N
これが事象Aの起こる確率P (A)である。
上の例では、a=3、N=6だったので、以下のように計算した。
P(A)=奇数の目が出る確率=a/N=3/6=1/2 次の項では、コイン投げの例について計算してみよう。

標本空間Q
標本空間Qの標本点の個数 =I Q I =N
(ここでは| Q |=N=30)

コインの事象の確率

前の項では、事象Aに対する確率P(A)の定義を述べた。この項では、それに基づき簡単な計算をする。
以下、偏りのないコインを1回投げる場合を考えよう。このとき、起こりうる全ての場合が「表」と「裏」なので、全事象Qは、
Q=l表，裏}
で、I Q丨（全事象の標本点の個数）=2となる。しかも「偏りがない」コインなので、表と裏のいずれが起こることも、同様に確からしい。事象Aの標本点の個数は| A |と表されるので、一般に事象 Aの確率、すなわち、P(A)は、次のように考えることができる。 P(A) =|Al/|Q| = |A|/2 例えば、A=丨表}のとき、丨A|=1なので、
P(A)(表が出る確率）=1/2 これを、P ({表丨）=1/2と書くこともある。
同様に、P (丨裏})=1/2である。
また、空事象#は標本点がないので丨ネ1=0。したがって、 P(^) = | \ / \ Q \ =0/2=0〇となる。実は上の説明で分かるように、この関係、P(多）=0、はコイン投げに限らず、どんな場合でも成立する。
一方、全事象Qに対しては、
P(Q) = | Q | / I Q | =1
となる。この関係、P(Q)=1、もコイン投げに限らずどんな場合でも成立する。次の項では、丁半賭博を例に確率を計算する。

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