医療統計学:確率の定義

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医療統計学:確率の定義

 

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確率の定義

 

この項では、確率について考える 「確率」とは、まさしく「確」からしさの「率」で、事象Aの起 こる確率は、P(A)と書かれ、確率は英 語で「probability」なので、その頭文字がとられている。
P(A)の取る値は、0と1の間であるが、「0」のときは、事象Aが 絶対に起こらないことを表し、逆に「1」のときは、必ず起こるこ とを表す。
以下、サイコロを1回投げる場合について少し考てみよう。ただ し、サイコロに細工はなく、偏りがない(どの目も同じように出る) ものとする。
このとき全事象Qは、Q={1,2,3, 4, 5, 6}だ。この標本点 の個数(これはhQ Iと表され、「オメガ?バ一」などと読む)は6 個である。
?方、事象Aを「奇数の目が出る」とすると、A=|1,3, 5}。 この標本点の個数IAIは、|A|=3になる。
したがって、サイコロは偏りがないとき、事象Aの起こる確率、 すなわち、?数の目の出る確率は P(A)(奇数の目の出る確率)
=IAI/I Q I
=(?数の出る事象の標本点の個数)/ (全事象の標本点の個数) =3/6=1/2
と定義できる。この結果は直感の1/2と一致するはずだ。
次の項では、上で述べたことをもう少しおし進めてみよう。

 

サイコロの事象の確率

 

前の項で述べたことは大事なことなので、もう一度復習する。 のないサイコロを1回拉げる場合を考えた。全事象Qは、
Q=h1,2, 3, 4,5,6}
なので、hQh=6。
?方、事象Aを「奇数の目が出る」とすると、A=h, 3, 5}。 したがって、hAh=3。
このサイコロを投げたとき、奇数の目が出る確率は P(A)=h A h / h Q I =3/6=1/2 次に、これをもとに、一般の場合について考えてみよう。
一般に、サイコロ投げのように、何回も繰り返しでき、その結果 が偶然に支配される実験や観察(試行)で起こりうる全事象Qの個 数をNとする。すなわち、|Q I =N。上の例なら、N=6だ。さら に、これが大事であるが、どの場合も偏りなく起こるとする。
このとき、事象Aの標本点の個数がa個ならば、つまり、|A| = a (上の例では、a=3)なら、事象Aの確率P (A)は次のようになる。 P(A)(事象Aの起こる確率)
=I A | / I Q I
=(事象Aの標本点の個数)/ (全事象の標本点の個数) =a/N
これが事象Aの起こる確率P (A)である。
上の例では、a=3、N=6だったので、以下のように計算した。
P(A)=奇数の目が出る確率=a/N=3/6=1/2 次の項では、コイン投げの例について計算してみよう。

 

標本空間Q
標本空間Qの標本点の個数 =I Q I =N
(ここでは| Q |=N=30)

 

コインの事象の確率

 

前の項では、事象Aに対する確率P(A)の定義を述べた。この項で は、それに基づき簡単な計算をする。
以下、偏りのないコインを1回投げる場合を考えよう。このとき、 起こりうる全ての場合が「表」と「裏」なので、全事象Qは、
Q=l表,裏}
で、I Qh(全事象の標本点の個数)=2となる。しかも「偏りが ない」コインなので、表と裏のいずれが起こることも、同様に確か らしい。事象Aの標本点の個数は| A |と表されるので、一般に事象 Aの確率、すなわち、P(A)は、次のように考えることができる。 P(A) =|Al/|Q| = |A|/2 例えば、A=h表}のとき、hA|=1なので、
P(A)(表が出る確率)=1/2 これを、P ({表h)=1/2と書くこともある。
同様に、P (h裏})=1/2である。
また、空事象#は標本点がないのでhネ1=0。したがって、 P(^) = | \ / \ Q \ =0/2=0〇 となる。実は上の説明で分かるように、この関係、P(多)=0、は コイン投げに限らず、どんな場合でも成立する。
一方、全事象Qに対しては、
P(Q) = | Q | / I Q | =1
となる。この関係、P(Q)=1、もコイン投げに限らずどんな場合 でも成立する。次の項では、丁半賭博を例に確率を計算する。

 

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